Nhân của đẳng cấu từ ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} đến ( H , ⊙ ) {\displaystyle (H,\odot )} luôn là {eG}, trong đó eG là phần tử trung hòa của nhóm ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)}

Nếu ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} và ( H , ⊙ ) {\displaystyle (H,\odot )} đẳng cấu với nhau, thì G {\displaystyle G} là nhóm Abel khi và chỉ khi H {\displaystyle H} là nhóm Abel.

Nếu f {\displaystyle f} là đẳng cấu từ ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} đến ( H , ⊙ ) , {\displaystyle (H,\odot ),} thì với bất kỳ a ∈ G {\displaystyle a\in G} , cấp của a {\displaystyle a} bằng với cấp của f ( a ) . {\displaystyle f(a).}

Nếu ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} và ( H , ⊙ ) {\displaystyle (H,\odot )} đẳng cấu với nhau , thì ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} là nhóm hữu hạn địa phương khi và chỉ khi ( H , ⊙ ) {\displaystyle (H,\odot )} cũng hữu hạn địa phương.

Số các nhóm phân biệt (xê xích đẳng cấu) có cấp n {\displaystyle n} được cho bởi dãy số A000001 trong OEIS. Các giá trị đầu tiên là 0, 1, 1, 1 và 2 nghĩa là 4 là cấp nhỏ nhất có hai nhóm phân biệt.